معادله ی خط
آموزش معادله ی خط:
.:: معادله های خطی ::.
معادله خط: (Line equation) رابطه ی بین طول (X) و عرض (Y) نقاط واقع بر یک خط را معادله ی آن خط می گویند که به صورت یک تساوی نوشته می شود .
مثال: به خط L توجه کنید . نقاط روی این خط قرار دارند .مشاهده می کنیم که طول و عرض این نقاط با هم مساویند . هر نقطه ای که طول و عرض آن مساوی باشد بر خط L قرار می گیرد و هر نقطه ای که روی خط L باشد طول و عرض آن مساوی است.
اگر طول هر نقطه را با X و عرض آن را با Y نشان دهیم ، رابطه Y=X را معادله ی خط (L) می نامیم. این تساوی، رابطه ی بین طول و عرض نقاط را مشخص می کند.
انواع خط:
در هر یک از تصاویر زیر به خط رسم شده توجه کنید .مختصات نقاط داده شده از خط را بیان کنید و معادله ی خط را بنویسید.
تصویر 1:
حل:
نکته: این نوع خط ها موازی محور طول ها هستند و معادله ی آن ها به صورت Y=b نوشته می شود . (b یک عدد ثابت برای همه ی نقاط می باشد.)
مانند 1=Y=-2 ، y و ........◦
تصویر2:
حل:
نکته: این نوع خط ها موازی محور عرض ها هستند و معادله ی آن ها به صورت x=a نوشته می شود. (a یک عدد ثابت برای طول همه ی نقاط می باشد.)
مانند 1=X=-2 ، X و ........◦
تصویر3:
حل:
نکته: این نوع خط از مبدأ مختصات می گذرد و معادله ی آن به صورت Y=mx نوشته می شود.
مانند:
تصویر 4:
حل:
نکته: این نوع خط نه موازی محوری است، نه از مبدأ مختصات می گذرد و معادله ی آن به صورت Y=mx+n می با شد. مانند:
دانش آموزان عزیز: انواع دیگری از خط را که به نظرتان می رسد در یک صفحه ی مختصات رسم کنید و در مورد معادله خط مربوط به هر کدام تحقیق کنید.
صورت استاندارد معادله خط:
هر رابطه ی درجه ی اول بین X و Y مانند: 1-Y=2x و 6=3x+Y را معادله ی خط گو یند صورت استاندارد معادله ی خط Y=mx+n می باشد که در آن m و n دو عدد معلوم و مشخص هستند.صورت دیگر معادله ی خط ax+by=c می باشد که در آن c و b و a سه عدد معلوم می باشند که با هم صفر نیستند و آنرا معادله ی خطی یا معادله ی ضمنی می نامند.
رسم خطی که معادله ی آن داده شده است:
برای رسم یک خط راست به ترتیب زیر عمل می کنیم .
الف:مختصات دو نقطه ی دلخواه آن خط را پیدا می کنیم .
ب:جای این دو نقطه را درصفحه ی مختصات مشخص می کنیم .
ج: این دو نقطه را به هم وصل کرده از دو طرف امتداد می دهیم.
مثال:در هر یک از تصاویر زیر معادله ی یک خط داده شده است. نمودار هر یک از خط های داده شده را رسم کنید.
تصویر 1: Y=۲x+۵
حل:ابتدا عدد های مختلفی به x می دهیم و عدد های نظیر آن ها را برای y به دست می آوریم.
تصویر 2: x+۲y=۴
حل:پیشنهاد:در این معادله ،ابتدا به x عدد صفر را می دهیم و جواب نظیر آنرا برای y بدست می آوریم و سپس بر عکس عمل می کنیم ،به yعدد صفر می دهیم و جواب نظیر آنرا برای x بدست می آوریم.
تصویر 3:
پیشنهاد: در این معادله، ابتدا به X عدد صفر را می دهیم و جواب نظیر آن را برای Y بدست می آوریم و سپس به X عدد 3 را می دهیم، (مخرج کسر) وجواب نظیر آن را برای Y بدست می آوریم.
تصویر 4:
حل: این معادله را می توانیم به صورت استاندارد بنویسیم و سپس آن را رسم کنیم:
تصویر 5: y=۳
حل: این معادله نشان می دهد که عرض همه ی نقاط برابر 3 می باشد.
تصویر 6: X=-۲
حل:این معادله نشان می دهد که طول همه ی نقاط برابر 2- می باشد
شیب خط: (gradient of a line)
شیب به معنی سرازیری است (مقابل فراز) و در ریاضیات هر چه زاویه ای که خط با محور افقی می سازد بیشتر باشد ، شیب خط بیشتر است و بر عکس هر چه زاویه ای که خط با محور افقی می سازد کمتر باشد ، شیب خط نیز کمتر است.
در این پارک کدام سرسره شیب بیشتری دارد ؟
در صفحه ی مختصات زیر کدام خط شیب بیشتری دارد؟
با توجه به خط های بالا y=۳x بیشترین شیب را دارد در مقایسه ی ضریب x مشاهده می کنیم که می باشد یعنی: هر چه ضریب x بیشتر باشد شیب خط بیشتر است و هر چه ضریب x کمتر باشد شیب خط کمتر است به طور کلی می توان گفت: اگر معادله ی خطی به صورت y=ax+b نوشته شود، عدد a که ضریب x می باشد، شیب خط نام دارد .
عرض از مبدأ: (y-intercept)
فاصله ای که خط از مبدأ گرفته و محور عرض ها را قطع می کند را عرض از مبدأ خط می گویند.
به عبارت دیگر: عرض نقطه بر خورد خط با محور y ها را عرض از مبدأ گویند.
در صفحه ی مختصات زیر محل بر خورد هر خط با محور عرض ها مشخص شده است.
اکنون نقطه های A و B و C را با معادله ی مربوط به هر خط مقایسه کنید.
به طور کلی می توان گفت :عدد b در معادله ی y=ax+b را عرض از مبدأ این خط می نامیم .اگر خط از مبدأ مختصات بگذرد عرض از مبدأ آن صفر می شود و معادله ی خط به صورت y=ax در می آید.
1- اگر مختصات یک نقطه در معادله خط صدق کند, آنگاه آن نقطه متعلق به خط می باشد. مثال: آیا نقطه روی خط قرار دارد؟ حل: بله نقطه A روی خط واقع است. اگر به جای y و x در معادله خط طول و عرض نقطه را قرار دهیم, به یک رابطه درست می رسیم.
2- دو خط را در نظر می گیریم: الف) دو خط بر هم منطبق اند, اگر 'b=b' , a=a باشند. ب) دو خط با هم موازی اند, اگر 'b≠b' , a=a . ج) دو خط بر هم عمودند, اگر 1-='a×a
مثال: دو خط y=5x+2 و y=5x+2 برهم منطبق هستند. دو خط y=5x+2 و y=5x-1 باهم موازی هستند. دو خط y=5x+2 و بر هم عمود هستند.
3- شیب خطی که از دو نقطه ی می گذرد،از رابطه ی زیر بدست می آید: مثال:در شکل مقابل شیب خط (d) را حساب کنید.
4- معادله ی خطی که از مبدأ مختصات و نقطه ی می گذزد ، به صورت می باشد.
مثال:معادله ی خطی را بنویسید که از مبدأ مختصات و نقطه ی می گذرد؟
حل: معادله ی خطی که از مبدأ مختصات می گذرد به صورتy=ax می باشد، و با توجه به نکته ی قبل می توان شیب خط را مشخص کرد.
5- معادله خطی که شیب آن a باشد و از نقطه ی بگذرد ،از رابطه ی زیر بدست می آید: مثال:معادله ی خطی را بنویسید که شیب آن 2 باشد و از نقطه ی بگذرد.
حل:(y-(-۱)=۲(x-۱ y+۱=۲x-۲ y=۲x-۲-۱ y=۲x-۳
6- معادله ی خط محور طول ها به صورتy=0 و معادله خط محور عرض ها به صورت ◦ = x می باشد.
7- اگر در هر معادله ی خط به طول مقدار صفر بدهیم ، انگاه برای عرض مقداری مشخص می شود که «عرض از مبدأخط»می باشد و اگر در یک معادله ی خط به عرض مقدار صفر بدهیم ،آنگاه برای طول مقداری مشخص می شود که «طول از مبدأخط »می باشد. مثال:عرض از مبدأ و طول از مبدأ خط را بدست آورید.
بنابراین نقاط محل بر خورد این خط با محور های مختصات را نشان می دهد و می توان گفت که :عرض از مبدأ این خط 3- و طول از مبدأ آن 2 می باشد. 8- معادله خطی که طول از مبدأ و عرض از مبدأ آن A و B باشند به صورت زیر است: مثال:با توجه به شکل مقابل به سئوالات داده شده پاسخ دهید. الف)عرض از مبدأ خط ( d ) را بنویسید. ب)طول از مبدأ خط ( d ) را بنویسید. ج)شیب خط ( d ) را مشخص کنید. د)معادله خط ( d ) رابنویسید.
حل: الف) چون خط محور عرض ها را در نقطه قطع می کند, بنابراین عرض از مبدأ خط 3 است. ب) چون خط محور طول ها را در نقطه قطع می کند, بنابراین طول از مبدأ خط 2- است. ج) شیب خطی که از دو نقطه B,A عبور می کند, برابر است با: د) معادله خط (d) برابر است با:
9- فاصله مبدأ مختصات تا نقطه از رابطه مقابل بدست می آید: مثال: فاصله نقطه را از مبدأ مختصات بدست آورید. حل: با توجه به رابطه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه می توان نوشت:
10- فاصله دو نقطه و از رابطه مقابل بدست می آید:
مثال: فاصله دو نقطه و را بدست آورید: حل:رابطه ی فیثاغورس
11- اگر معادله خط به صورت Ax+By+c=0 باشد, آنگاه: مثال: شیب خط, عرض از مبدأ و طول از مبدأ خط 3y+۲x-۳=◦i را بدست آورید. حل:2x + ۳y - ۳ = ◦i => A = ۲ , B = ۳ , C = -۳
12- دو خط A'x + B'y + c' = ◦ , Ax + By + c = ◦i را در نظر می گیریم: الف) اگر باشد, دو خط برهم منطبق هستند. ب) اگر , دو خط با هم موازیند. ج) اگر AA' + BB' = ◦i باشد, دو خط بر هم عمودند. مثال: مقدار m را چنان تعیین کنید که دو خط زیر بر هم عمود باشند.
حل: |